数学関数 三角関数とは基礎(簡単に説明)_ピタゴラスの定理:2章-2D編-図解

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[雑学知識][数学関数 三角関数とは基礎(簡単に説明)_ピタゴラスの定理:2章-2D編-図解]

ピタゴラスの定理:2章-2D編

ピタゴラス
  1. 三角関数
    1. 正弦・余弦・正接とは
    2. 正接以外の正弦・余弦は変わる?
    3. 三角関数のイメージ
    4. もっと簡単に!
    5. エクセルで確認してみる
    6. 今度は長さを求めます
    7. エクセルで長さを求める
    8. 要するに
    9. あれっ!ハガキのサイズと一致した。
    10. もう一つの"三角関数"アーク

三角関数

  • 三角関数は日常様々なところで使われています。地図・海図・軌跡・電波・建設など、特にPCでお仕事をされている方(CAD・製図・図形・音・ゲーム・グラフィック・プログラミング)には必須関数ともいえます。
  • 英名 Trigonometric Function
  • 総称して三角関数とは
  • 1.ある線の長さを1とします。
  • 2.その線をある角度の方向に描いた場合
  • 3.線の先端がどの位置に置かれるのかを算出するものです。
  • ある角度(図の青色)をTheta(シータθ)と言います。
  • 正弦・余弦・正接とは

  • 線の先端の縦位置(Y座標)をSine(サイン・正弦)。
  • 線の先端の横位置(X座標)をCosine(コサイン・余弦)。
  • 線の先端の斜位置(Z座標)をTangent(タンジェント・正接)。
  • 正確に定義で言えば
    • 縦位置(Y座標・正弦)÷斜位置(Z座標・正接)=Sine(サイン・正弦)。
    • 横位置(X座標・余弦)÷斜位置(Z座標・正接)=Cosine(コサイン・余弦)。
    • 縦位置(Y座標・正弦)÷横位置(X座標・余弦)=Tangent(タンジェント・正接)。
  • Tangent(タンジェント/正接)は Sine÷Cosineです。
  • 当然、Theta(図の青色[シータθ])が0度の場合は線(上左図の赤線)は真右です。
  • Theta(図の青色[シータθ])が増すと反時計回り(正方向)に上昇します。
  • Theta(図の青色[シータθ])が90度ですと線(上左図の赤線)は真上になります。
  • @Sine(サイン/正弦)はエクセルですと「=SIN(値)」
  • ACosine(コサイン/余弦)はエクセルですと「=COS(値)」
  • ピタゴラスの定理
    • 幾何学的(きかがく)に直角三角形の斜辺の長さを c とし、他の辺の長さを a, b とした場合
    • a²+b²=c²
    • という関係が成立する。
  • ピタゴラスの定理から三角関数のSineCosine
  • sin2θ + cos2θ = 1
    1=SQRT(SIN(180)^2+COS(180)^2)
    1=SQRT(Sine(Theta)^2+Cosine(Theta)^2)
  • 前述「数学関数 三角関数とは基礎(簡単に説明)_ピタゴラスの定理:1章-平方根とラジアン-図解」のハガキの=SQRT( X^2 + Y^2 )と同じ意味です。

正接以外の正弦・余弦は変わる?

  • 参考程度のこの項は読まなくてもOKです。

  • 現在の正弦・余弦
  • 赤を∠角
  • 青を∠余角とする
裏返す
  • そのまま
  • 裏返す
  • それを
傾きを変える
  • 直角が右下になるように
  • 傾きを変える
  • すると
  • ∠角と∠余角が逆転し
  • 余り角に対しての
  • 正弦・余弦の関係も逆転する。
  • 正接(斜線)は変わらない。
  • 三角形の内角の和は180度。
  • 黄色の角は直角90度。
  • 直角以外の角2つの和は90度。
  • よって2つの何れかの角度が判れば
  • もう一方の角度は判る。

三角関数のイメージ

三角関数のイメージ 三角関数のイメージ拡大 三角関数のイメージ
図@ 図A(@の拡大) 図B
  • 図@を拡大したものが図Aで青塗りが「シータθ」
  • 黄塗りは直角90°になります。
  • 横軸がSine(X座標)
  • 縦軸がCosine(Y座標)
  • 図Bはオレンジ線が「0」として
  • 青線がPI(つまり3.14159265358979)
  • 緑線がPIの半分でPI()÷2
  • 赤線がPIの1.5倍でPI()×1.5

もっと簡単に!

>> >> >>
  • RA角は直角(直角三角形)。
  • 三角形の内角の和は180度。
  • θの角度の大きさが定まれば、3辺の比も決まる。
  • つまり辺同士の比が判ります。
  • θは角度又はラジアン値です。
  • A-C間(横)をx
  • B-C間(縦)をy
  • A-B間(斜)をzとします。
  • xyzの3つ比の全ての組み合わせは、
  • 以下になります。
6つ三角比の組み合わせ
基本の3つ
1 正弦せいげん サイン sineθ = y / z /
2 余弦よげん コサイン cosineθ = x / z /
3 正接せいせつ タンジェント tangentθ = y / x / = 縦/斜 / 横/斜
単に逆数なので無視しても良い(//)
4 余割よかつ コセカント cosecantθ = z / y / = 1 / 縦/斜
5 正割せいかつ セカント secantθ = z / x / = 1 / 横/斜
6 余接よせつ コタンジェント cotangentθ = x / y / = 1 / 縦/横

エクセルで確認してみる

  •   A B C
    1 角度 56.3 説明
    2 RADIANS 0.982620369 ラジアン値を求める
    3 Cosine(x座標) 0.554844427  
    4 Sine(y座標) 0.831954122  
    5 Tangent(z座標) 1.499436745 (=y / x)
  • ラジアンは数学関数 三角関数とは基礎(簡単に説明)_ピタゴラスの定理:1章-平方根とラジアン-図解で説明済み。
  • 上記はエクセルのに数式を入れ表示された値をそのまま写したものです。
  • 下記はその数式を写しました。
  • 黄色の部分を選択するか ボタンを押してエクセルのセル「A1」に「貼り付け」てみてください
  •   A B C
    1
    角度 56.3 説明
    RADIANS =RADIANS(B1) ラジアン値を求める
    Cosine(x座標) =COS(B2)  
    Sine(y座標) =SIN(B2)  
    Tangent(z座標) =TAN(B2) (=y / x)
    2
    3
    4
    5
  • セル「B1」の値(現在は「56.3」が入力されています)を変えてみて下さい。
  • この算出数値は全てです。

今度は長さを求めます

  • 図は上と同じです。
  • 黄色の角度は直角(直角三角形)です。
  • 先ほどのA-B間(斜辺つまりz)の長さは「1」と仮定してありましたから(×1)は省略されてます。
  • シータθ(赤の塗りつぶし)角度とA-B間(斜辺つまりz)の長さが判ればA-C間(底辺x)の長さやB-C間(高さy)の長さが判ります。

エクセルで長さを求める

  •   A B C
    1 角度 56.3 説明
    2 長さ(z) 18.02775638  
    3 Cosine(x座標) 10.00260017 ※1
    4 Sine(y座標) 14.99826623 ※2
    5 Tangent(z座標) 27.03148034 (=y / x)
  • ラジアン値は数式に組み込まれてます。
  • 上記はエクセルのに数式を入れ表示された値をそのまま写したものです。
  • 下記はその数式を写しました。
  • 黄色の部分を選択するか ボタンを押してエクセルのセル「A1」に「貼り付け」てみてください
  •   A B C
    1
    角度 56.3 説明
    長さ(z) 18.02775638  
    Cosine(x座標) =COS(RADIANS(B1))*B2  
    Sine(y座標) =SIN(RADIANS(B1))*B2  
    Tangent(z座標) =TAN(RADIANS(B1))*B2 (=y / x)
    2
    3
    4
    5
  • セル「B1」の値(現在は「56.3」が入力されています)を変えてみて下さい。
  • セル「B2」の値(現在は「18.02775638」が入力されています)を変えてみて下さい。
  • この算出数値は全て長さです。

要するに

引数に角度指定 斜辺」を指定した場合 斜辺」を指定しない場合
サイン 高さ 高さ÷斜辺(比)
コサイン 底辺 底辺÷斜辺(比)
タンジェント 高さ÷底辺 高さ÷底辺(比)

あれっ!ハガキのサイズと一致した。

もう一つの"三角関数"アーク

数学関数 三角関数とは基礎(簡単に説明)_ピタゴラスの定理:1章-平方根とラジアン-図解
数学関数 三角関数とは基礎(簡単に説明)_ピタゴラスの定理:3章-アーク編-図解





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